GRAVITACE

Velká galaxie v Andromedě

Gravitační interakce je jediná interakce, která působí na všechny objekty ve Vesmíru. Není výběrová. Jde o interakci, která v současnosti dominantně určuje strukturu Vesmíru. První velké úspěchy při poznání gravitace slavil Isaac Newton. Objevil universální gravitační zákon, podle kterého padají předměty na Zemi, pohybuje se Měsíc kolem Země, planety kolem Slunce a kterým se řídí i ohromné hvězdné ostrovy, například 200 miliard hvězd v galaxii v Andromedě na tomto obrázku.

Přesto Newtonův gravitační zákon selhává při silných polích a vysokých rychlostech částic. Není v něm zabudována rychlost šíření interakce a není relativistický. Dnešní obecná relativita pracuje s časoprostorem, který tělesa svou přítomností zakřivují a v tomto zakřiveném časoprostoru se pohybují po nejrovnějších možných drahách. Nové pojetí gravitace předpovídá mnohé nové jevy: dráhy těles kolem hmotného centra již nejsou elipsy, světlo se v křivém časoprostoru ohýbá, existují gravitační čočky, existují zkolabované hvězdy - černé díry, Vesmír jako celek expanduje a tělesa s nenulovým kvadrupólovým momentem vyzařují gravitační vlny. Na sklonku 20. století se potvrdila většina těchto předpovědí a připravují se grandiózní experimenty pro potvrzení zbývajících ...

NEWTONŮV GRAVITAČNÍ ZÁKON

 
Na této stránce naleznete:
 
    
Trocha historie
 
Newtonův gravitační zákon
 
Keplerovy zákony
 
Problémy Newtonova gravitačního zákona
 
 

Trocha historie
První gravitační experimenty provedl Galileo Galilei (1564-1642). Sledoval volný pád, šikmý vrh, pohyb po nakloněné rovině a závislost periody kyvadla na délce závěsu. Objevil základní zákony těchto pohybů, včetně zákona o skládání rychlostí. Poprvé v dějinách použil experiment k ověření myšlenkových konstrukcí. Kromě těchto aktivit byl také konstruktérem prvního dalekohledu, objevil krátery na Měsíci, Jupiterovy měsíce Io, Europu , Ganymedes a Callisto a sledoval Mléčnou dráhu.
K dalšímu poznání gravitace přispěli Tycho Brahe (1546-1601) a Johannes Kepler (1571-1630). Tycho Brahe byl dánský astronom, vynikající pozorovatel. Od roku 1599 byl dvorním astronomem císaře Rudolfa II v Praze. Na základě jeho detailních pozorování pohybů planet Sluneční soustavy formuloval německý astronom Kepler své zákony pohybu planet. V letech 1600-1612 působil také v Praze ve službách Rudolfa II.
První universální zákon gravitace objevil sir Isaac Newton (1643-1727). Zjistil, že síla je úměrná součinu hmotností těles a nepřímo úměrná čtverci vzdálenosti objektů. Vytvořil nezávisle na Leibnitzovi diferenciální počet, na základě kterého lze předpovídat polohy těles. Z Newtonova gravitačního zákona je možné vypočítat nejen volný pád, šikmý vrh a pohyby na povrchu Země, ale i pohyb Měsíce, planet, gravitační působení dvojhvězd, hvězdokup a galaxií. Lidstvo tak poprvé dostalo do rukou zákon a matematický aparát, který z něho umožňuje vypočítat pohyby na nejrůznějších škálách.
 
Tvůrci newtonovské teorie gravitace
Galileo Galilei 
(1564-1642)
Tycho Brahe 
(1546-1601)
Johannes Kepler 
(1571-1630)
sir Isaac Newton 
(1643-1727)
 
 

Newtonův gravitační zákon
Newtonův gravitační zákon předpokládá, že mezi dvěma hmotnými objekty působí přitažlivá síla nepřímo úměrná kvadrátu vzdálenosti objektů a přímo úměrná jejich hmotnostem: FGm1m2/r2. Ve vektorovém tvaru má tento zákon tvar: F = −Gm1mr/r3. Z gravitačního zákona lze pro známé počáteční polohy těles předpovědět jejich budoucí časový vývoj na základě pohybových rovnic
 
m d2x/dt2 = −G m1m2x/r3
m d2y/dt2 = −G m1m2y/r3
m d2z/dt2 = −G m1m2z/r3.
Hodnota gravitační konstanty byla poprvé experimentálně určena Henry Cavendishem (1731-1810), dnešní hodnota je
 
G = 6,6720×10-11 Nm2kg-2.
Analytické řešení je možné pro problém dvou těles. Komplikovanější systémy se řeší numericky. Nejjednodušší je řešení pohybu málo hmotného tělesa kolem velmi hmotného centra. Jde například o pohyb planety, planetky nebo komety kolem Slunce. Pohyb se děje v jediné rovině a po celou dobu pohybu se zachovává moment hybnosti b a energie E. Pro celkovou zápornou energii jde o pohyb po uzavřené křivce (elipse). Kdyby síla klesala s jinou než druhou mocninou vzdálenosti (například r1,99), trajektorie by již nebyla uzavřená. Celková energie E tělesa v gravitačním poli se skládá z radiální, rotační a potenciální části. Podle hodnoty celkové energie mohou nastat při pohybu kolem velmi hmotného centrálního tělesa tři případy: 
 
E < 0
Vázaný pohyb, elipsa.
E = 0
Pohyb po parabole.
E > 0
Pohyb po hyperbole, únik z gravitačního pole centrálního tělesa.
Gravitační zákon byl velmi úspěšný při vysvětlení pohybů v tíhovém i gravitačním poli Země (tíhovým polem rozumíme gravitační pole v těsné blízkosti povrchu Země), při vysvětlení pohybu planety včetně poruch způsobených ostatními planetami a tělesy, ale i při vysvětlení vzájemného gravitačního působení skupin hvězd (vícenásobné hvězdy, hvězdokupy, galaxie).
Klepnutím na tento symbol spustíte aplet, ve kterém si můžete simulovat pohyb tělesa v gravitačním poli podle Newtonova zákona i podle obecné relativity.Autorem apletu jeVáclav Těšínský.
 
 

Keplerovy zákony
Keplerovy zákony, byť byly odvozeny samostatně a dříve z pozorování, jsou z dnešního pohledu bezprostředním důsledkem Newtonova gravitačního zákona aplikovaného na pohyb planety kolem Slunce. Připomeňme si jejich znění:
 
 
  1. Planety se pohybují v rovině po elipsách v jejichž ohnisku je Slunce.
  2. Moment hybnosti planety se zachovává. (mrv = const, plošná rychlost při oběhu je konstantní).
  3. Třetí mocnina velké poloosy dráhy je úměrná druhé mocnině oběžné periody: a32 = G(m1+m2)/4π2.
 
 

Problémy Newtonova gravitačního zákona
Přes značné úspěchy, které zaznamenala aplikace Newtonova gravitačního zákona na různé problémy, má tento zákon řadu nedostatků:
  • nekonečná rychlost interakce,
  • problém definice síly,
  • nerelativističnost,
  • vnitřní nekonzistence.
V gravitačním zákoně nevystupuje čas. Pohne-li se jedno těleso, vzdálenost ke všem ostatním se změní okamžitě. Podle Newtonova zákona se o změně polohy tělesa dozvědí všechna ostatní tělesa ve Vesmíru ihned. To znamená, že interakce probíhá nekonečnou rychlostí. To samozřejmě není pravda a odporuje to základním principům speciální teorie relativity. Interakce se může šířit maximálně rychlostí světla c.
Sílu je velmi těžké definovat. Zpravidla ji chápeme jako součin hmotnosti a zrychlení. K definici pojmu zrychlení musíme umět měřit délky a čas v inerciálním souřadnicovém systému. Inerciální systém je takový systém, ve kterém se volná hmotná tělesa pohybují rovnoměrně přímočaře a volná tělesa jsou taková tělesa, na která nepůsobí síly. Celý pokus o definici síly se tak vždy uzavírá kruhem, který není možné rozumně přerušit. Ve dvacátém století se objevily dva přístupy, které problém síly řeší zcela novým způsobem. Je to předevšímobecná teorie relativity, která pojem síly nahrazuje křivým prostorem a časem a elegantně převádí otázky gravitační interakce na geometrický problém. O něco málo později se objevila kvantová teorie pole, která pojem síly nahrazuje výměnnými částicemi, které zprostředkovávají interakce (interakci elektromagnetickou, silnou a slabou). Pro interakci elektromagnetickou jsou to fotony, pro interakci slabou intermediální bosony W+, W -, Z0 a pro interakci silnou gluony.
Newtonův gravitační zákon nesplňuje Lorentzovu transformaci a není relativistický ve smyslu speciální teorie relativity (nepočítá s kontrakcí délek, s dilatací času, atd.).
Pro nekonečný homogenní vesmír složený z mnoha objektů dává Newtonův zákon pro různé postupy různé výsledky: Vytvoříme-li v libovolném bodě velkou myšlenou kouli, nebudou mít objekty vně koule gravitační vliv na objekty uvnitř koule (plyne z Gaussovy věty, která je důsledkem Newtonova gravitačního zákona). Sama koule se bude ovšem vlastní gravitací smršťovat a Vesmír bude kolabovat. Uvážíme-li ale Vesmír jako celek, v průměru se síly na jednotlivé objekty vyruší a Vesmír kolabovat nebude.
 

SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY

 
Na této stránce naleznete:
    
Trocha historie
 
Základní principy
 
Lorentzova transformace
 
Základní vztahy
 
Některé čtyřvektory
 

Trocha historie
Na konci minulého století se fyzika dostala do nezáviděníhodné situace. Podle klasické mechaniky, jejíž počátky se datují do doby Galilea, má platit princip skládání rychlostí. Naopak z rovnic elektromagnetického pole (Maxwellových rovnic) plynulo, že se světlo má  šířit stále stejnou rychlostí, bez ohledu na zvolený souřadnicový systém. Tento fakt souvisí s transformačními vlastnostmi Maxwellových rovnic, které poprvé studoval Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928).
Celou řadou experimentů bylo prokázáno, že správný je výsledek plynoucí z Maxwellových rovnic. Světlo se ve všech souřadnicových systémech pohybuje stejnou rychlostí nezávisle na pohybu zdroje. První z experimentů tohoto typu byl slavný experiment Alberta Abrahama Michelsona (1852-1931), který interferometricky měřil změnu rychlosti pohybu světla napříč a podél pohybu Země kolem Slunce. Výsledek experimentu byl záporný, žádná závislost rychlosti světla na pohybu zdroje nebyla pozorována. Experiment byl proveden v roce 1887 a Michelson za jeho přípravu a provedení získal Nobelovu cenu v roce 1907.
Bylo tedy třeba přehodnotit klasickou mechaniku a postavit ji na jiných principech než je prosté skládání rychlostí. To ale nutně vedlo k tomu, že prostor a čas přestaly být absolutní, události současné z hlediska jednoho souřadnicového systému nemusí být současné z hlediska jiného souřadnicového systému. Stejně tak pojem časového intervalu a vzdálenosti dvou událostí závisí na zvoleném souřadnicovém systému. Nová teorie  platící jen pro inerciální souřadnicové systémy byla vypracována Albertem Einsteinem (1879-1955). Ten získal Nobelovu cenu v roce 1921, nikoli však jako tvůrce speciální a obecné relativity, ale paradoxně za vysvětlení fotoelektrického jevu. Matematickou podstatou Lorentzovy transformace a symetrií s ní spojených se zabýval Jules Henri Poincaré (1854-1912). Vlastnosti časoprostoru ve speciální relativitě zkoumal Hermann Minkowski (1864-1909). 
 
Tvůrci speciální teorie relativity
A. Einstein 
(1879-1955)
A.A. Michelson 
(1852-1931)
 
Tvůrci speciální teorie relativity
H.A. Lorentz 
(1853-1928)
H. Minkowski 
(1864-1909)
J.H. Poincaré 
(1854-1912)
 
 

Základní principy
Klasický princip relativity
Mechanické děje dopadnou ve všech inerciálních soustavách stejně. Žádný z inerciálních systémů není nijak privilegován. Tento princip vychází z Galileovy transformace mezi dvěma souřadnicovými systémy vzájemně se pohybujícími v ose x konstantní rychlostí v
t' = t 
x' = x - vt 
y' = y 
z' = z
Derivováním podle času dostaneme klasické skládání rychlostí: 
ux' = ux - v 
uy' = uy 
uz' = uz
Dalším derivováním zjistíme, že zrychlení v obou soustavách jsou stejná a = a'. To znamená, že v obou soustavách působí i stejné síly a platí klasický princip relativity.
Speciální relativita
1. Mechanické i elektromagnetické děje dopadnou ve všech inerciálních systémech stejně. Žádný z inerciálních systémů není nijak privilegován.  
2. Rychlost světla je ve všech inerciálních souřadnicových soustavách stejná. 
Princip konstantní rychlosti světla je obsažen v Maxwellových rovnicích a je podpořen celou řadou experimentů, z nichž nejznámější je Michelsonův experiment. Odpovídající transformace se nazývá Lorentzova transformace a nevede již k prostému skládání rychlostí. Délky tyčí a časové intervaly závisí na volbě souřadnicového systému.
 
 

Lorentzova transformace
Předpokládáme, že souřadnicový systém S' se pohybuje vzhledem k systému S rychlostí v ve směru osy x. Na rozdíl od klasického principu relativity, kde se transformuje pouze prostorová souřadnice, je ve speciální teorii relativity prostorová a časová souřadnice postavená na stejnou úroveň. Znamená to tedy transformaci ve tvaru
 
t' = A11x + A12 t  ,  
x' = A21x + A22 .
Transformace musí dále splňovat Einsteinův postulát, který říká, že ve všech souřadných soustavách je rychlost světla c stejná, tedy pro čelo světelné vlny vzniklé v centru souřadnic v okamžiku, kdy se systémy míjí, musí platit
 
x = ct 
x' = ct
nikoliv x' = c't'. Pouze z těchto předpokladů a z předpokladu, že stejné zákony musí platit i v soustavě S' po záměně rychlosti v za -v, obdržíme Lorentzovu transformaci. Obě souřadnicové soustavy jsou inerciální. Význam relativistických koeficientů γ a β je definován v další tabulce. Při mnoha výpočtech je výhodné pracovat v takové soustavě jednotek, ve které je c = 1. Většina následujících vztahů se v této soustavě značně zjednoduší.
 
t' = γ(t - vx/c2 
x' = γ(x -vt 
y' = y 
z' = z
Lorentzova transformace  S'. Transformace, která je ve shodě s Maxwellovými rovnicemi, nevychází z ní již prosté skládání rychlostí. Tato transformace splňuje oba základní Einsteinovy postuláty speciální relativity. 
t = γ(t' + vx'/c2 
x = γ(x' + vt' 
y = y' 
z = z'
Inverzní Lorentzova transformace S.' → S.
Lorentzova transformace S  S' - maticový zápis. Transformace je dána jednoduchou Lorentzovou maticí Λ. Stejným způsobem se transformují i ostatní čtyřvektory - prostým působením Lorentzovy matice Λ.
Inverzní Lorentzova transformace S  S' - maticový zápis. Inverzní Lorentzova matice Λ-1se od Lorentzovy matice Λ liší jen opačným znaménkem rychlosti pohybu druhé soustavy, tj. znaménkem koeficientu β.
det Λ = det Λ-1 = 1
Unitarita transformace. Z matematického hlediska patří Lorentzova transformace k unitárním transformacím. Ty lze rozdělit na rotace s determinantem rovným +1 a zrcadlení s determinantem rovným -1. LT tedy patří k rotacím.
u' = (v) / (1 - uv/c2)
Transformace rychlosti S  S'. Rychlosti částice v obou soustavách jsou u = dx/dt,u' = dx'/dt', rychlost soustavy S' vzhledem k S je v. Transformační pravidlo získáme ihned diferencováním Lorentzových rovnic. Maximální rychlost z tohoto transformačního pravidla vychází c.
u = (u' + v) / (1 + u'v/c2)
Transformace rychlosti S'  S. Rychlosti částice v obou soustavách jsou uu', rychlost soustavy S' vzhledem k S je v. Maximální rychlost z tohoto transformačního pravidla vycházíc.
 
 

Základní vztahy
 
β  v/c
První relativistický koeficient. Bezrozměrná rychlost.
γ ≡  (1 – β2)–1/2
Druhý relativistický koeficient
dt = γdt0
Dilatace času. Časový interval mezi dvěma událostmi (například počátkem a koncem shlédnutí filmu) je nejkratší ve vlastní soustavě (v soustavě spojené s oběma událostmi, tedy v kině). Všude jinde se zdá, že doba uběhlá mezi počátkem a koncem tohoto děje je delší.
dl = dl0/γ
Kontrakce délek. Délka tyče (prostorový interval) je ve vlastní soustavě nejdelší možná. V každé jiné soustavě se tyče jeví kratší ve směru pohybu.
m = γm0
Pohybová hmotnost. Její zavedení umožní, aby vztah pro hybnost připomínal vztah z klasické mechaniky. Pohybová hmotnost částice s narůstající rychlostí roste. V limitě v → c roste nade všechny meze. Proto není možné žádnou částici s m0 ≠ 0 urychlit na rychlost světla. Rychlost světla je nejvyšší dosažitelná rychlost. Mají ji jen částice s m0 = 0 a to v libovolném souřadnicovém systému. Lze to ukázat buď z pohybové rovnice nebo z Pythagorovy věty o energii.
E = γm0c2 = mc2
Vztah mezi celkovou energií a hmotností. Jakékoli zvýšení energetického obsahu systému vede i k zvýšení jeho hmotnosti. Celková obsažená energie je právě dána hmotností systému.
p = γm0v = mv
Celková hybnost částice. Zavedením pohybové hmotnosti m = γm0 se vztah podobá klasickému vztahu pro hybnost.
Wk = mc2 – m0c2
Kinetická energie. Taylorův rozvoj hodnoty m = γm0 v rychlosti do druhého řádu vede na klasický vztahWk = mv2/2.
E2 = p2c2 + m02c4
Pythagorova věta o energii. Jde o užitečné vyjádření kvadrátu velikosti čtyřvektoru hybnosti.
 
 

Některé čtyřvektory
 
xμ = (ctx)
Událost. Základní čtveřice parametrů popisujících v relativitě událost. Koeficient c v časové komponentě zajišťuje stejný rozměr všech čtyř veličin. V soustavě jednotek s c = 1 tento koeficient odpadá a mocninyc nebudou ani u následujících výrazů.
kμ = (ω/ck)
Vlnový čtyřvektor. Popisuje vlnění a změny jeho fáze. Časová složka ω je změna fáze vlnění s časem, prostorové složky k jsou změny fáze s jednotlivými souřadnicemi.
pμ = (E/cp)
Čtyřhybnost. Popisuje částice. Časová složka E je energie, souvisí se symetriemi v přírodě vzhledem k časovým posunutím. Prostorová složka p je hybnost, souvisí se symetriemi v přírodě vzhledem k prostorovým posunutím. V kvantové teorii se objekty mohou chovat jako vlny i jako částice. Vyjádřením této duality vlna-částice je vztah pμ ~ kμ. Konstantou úměrnosti je v SI redukovaná Planckova konstanta.
Aμ = (Φ/cA)
Čtyřpotenciál elektromagnetického pole. Elektrická a magnetická pole se určí z výrazůE = – grad Φ – ∂A/∂t,   B = rot A.
jμ = (cρ)
Čtyřproud. Hustota náboje a proudová hustota. Čtyřproud popisuje proudění nějaké veličiny, v tomto případě elektromagnetického náboje. Stejně tak můžeme přiřadit čtyřproud i jiným aditivním veličinám, například energii: Potom je ρW = ED/2 + HB/2 hustota energie elektrického a magnetického pole ajW = E×H je tok energie, tzv. Poyntingův vektor.
uμ = dxμ/dτ = γ(cv)
Čtyřrychlost. Rychlost je definována pomocí derivace podle vlastního času, který je invariantem vzhledem k LT. Tím je zaručeno, že i čtyřrychlost se chová jako čtyřvektor a má stejné transformační vlastnosti jako ostatní čtyřvektory. 
pμ = muμ
Čtyřhybnost. Definice pomocí čtyřrychlosti. Musíme ji násobit klidovou hmotností, která je invariantem vzhledem k LT. Tím je zaručeno, že i čtyřhybnost má stejné transformační vlastnosti jako ostatní čtyřvektory. Porovnáme-li vyjádření z třetího řádku s tímto, získáme vztahy E = mc2 a p = mv, ve kterých je m = γm0.
Všechny čtyřvektory se transformují shodně – za pomoci Lorentzovy transformace. Stačí zapůsobit na čtyřvektor vyjádřený v jedné soustavě Lorentzovou maticí a získáme hodnoty v soustavě druhé (obě soustavy musí být inerciální). Skalární součin dvou čtyřvektorů definovaný vztahem aμbμ = – a0b0 + a1b1 + a2b2 + a3b3 je invariantem a nezávisí na volbě souřadnicového systému. Například xμkμ = – ωt + kx je fáze vlnění, dxμdxμ = – c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2 je  interval, – jμAμ = ρΦ - jA je interakční energie toku nabitých částic s elektromagnetickým polem, atd.
 

OBECNÁ TEORIE RELATIVITY

 
Na této stránce naleznete:
    
Trocha historie
 
Základní relativistické principy
 
Princip ekvivalence
 
Stavba obecné relativity
 
Zakřivení času
 
Zakřivení prostoru
 
Zakřivení časoprostoru - gravitační vlny
 
Některé vztahy z OTR
 

Trocha historie
Gravitační interakce se od všech ostatních výrazně odlišuje. Jako jediná působí na všechny částice. Toto působení má zvláštní charakter: Testovací (malá) tělesa se v gravitačním poli pohybují po stejných trajektoriích. Už Galileo Galilei věděl, že doba volného pádu malé kuličky i velkého kamene v tíhovém poli Země je shodná. (Nesmí jít například o pírko, kde je podstatnou silou odpor vzduchu.) To je důsledkem tzv. principu ekvivalence mezi setrvačnou a gravitační hmotou. Hmota se projevuje setrvačnými  a gravitačními účinky a ty jsou si úměrné. Nelze proto od sebe odlišit setrvačné a gravitační jevy. Je jedno, zda se nacházíme v urychlovaném výtahu, tj. neinerciální soustavě, nebo v tíhovém poli se stejným gravitačním zrychlením. V obou soustavách dopadnou experimenty stejně. To vedlo Alberta Einsteina k zobecnění speciální relativity platící v inerciálních soustavách na veškeré souřadnicové systémy a k vzniku obecné relativity, jejíž kostru dokončil v roce 1915.
Právě universálnost gravitační interakce a jednotná odezva všech testovacích částic na zdroj gravitačního pole vedla k přehodnocení klasického pojmu síly. Zakřivení trajektorií již není způsobeno těžko definovatelnou silou, ale vlastnostmi prostoru a času. V obecné relativitě sama tělesa zakřivují čas a prostor a v tomto zakřiveném časoprostoru se pohybují po nejrovnějších možných drahách - geodetikách. Například volný pád všech těles probíhá stejně proto, že se pohybují v časoprostoru zakřiveném Zemí a toto zakřivení je pro všechna tělesa stejná.
Prostor a čas v obecné relativitě bez samotných těles neexistuje. Tělesa sama časoprostor vytvářejí. Zakřivení časoprostoru je matematicky popisováno metrickým tenzorem - jde vlastně o koeficienty gμν v Pythagorově větě, které určují vlastnosti času a prostoru. 
 
Základní metriky - Pythagorova věta
dl2 = dx2 + dy2 + dz2
Kvadrát vzdálenosti v kartézském souřadnicovém systému, kartézská metrika.
ds2 = −c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2
Časoprostorový interval ve speciální relativitě, Minkowského metrika. 
ds2 =  g00dt2 + g11dx2 + g22dy2 + g33dz2
Metrika v obecné relativitě, Riemannova metrika. Ortogonální systém souřadnic.
Koeficienty gμν se zavádějí nejen v pokřiveném kartézském souřadnicovém systému, ale v jakékoli souřadnicové soustavě, například sférické. Sám pojem souřadnic v obecné relativitě ustupuje do pozadí, význam mají měřitelné efekty na gravitujících tělesech.
Albert Einstein nalezl rovnice pro metrické koeficienty gμν. Jde o deset diferenciálních rovnic druhého řádu. První řešení pro sféricky symetrické gravitační pole centrálního tělesa nalezl Karl Schwarzschild v roce 1916. Jeho řešení ve velké vzdálenosti od zdroje přechází v Minkowského metriku speciální relativity, pohyby těles ve větších vzdálenostech od zdroje jsou shodné s pohyby v Newtonově teorii. V silnějších polích (blíže ke zdroji) je ale v předpovědích možné pozorovat rozdíly. Světelný paprsek se zakřivuje, dráhy těles nejsou uzavřené elipsy, dochází ke stáčení celé trajektorie, hodiny jdou v různých místech gravitačního pole různě a pro vnějšího pozorovatele není možné pozorovat děje pod tzv. Schwarzschildovým poloměrem. Je-li těleso vytvářející pole pod Schwarzschildovým poloměrem, jedná se o černou díru.
Jiným důležitým řešení rovnic obecné relativity je Fridmanovo řešení z roku 1922, podle kterého homogenní izotropní Vesmír jako celek nemůže být statický, musí se rozšiřovat nebo smršťovat. Nezávisle řešil Einsteinovy rovnice pro modely vesmíru G. Lemaitre.
Rovnice OTR poskytují řešení ve tvaru gravitačních vln a v mnoha dalších předpovědích se odlišují od Newtonova gravitačního zákona. Uveďme alespoň některé z nich:
  • zakřivení světelného paprsku v gravitačním poli (1,75" u povrchu Slunce),
  • gravitační čočky (první objevena v roce 1979),
  • stáčení perihelia planet (zejména Merkuru: 43" za století),
  • gravitační červený posuv (závislost chodu hodin na gravitačním poli, poprvé prokázán pro bílé trpaslíky),
  • zpoždění elektromagnetického signálu,
  • kosmologický červený posuv,
  • Lensův-Thirringův jev (strhávání souřadnicové soustavy),
  • gravitační vlny,
  • černé díry,
  • rozpínání Vesmíru,
  • neeukleidovská geometrie časoprostoru.
Počátky obecné teorie relativity
A. Einstein 
(1879-1955)
K. Schwarzschild 
(1873-1916)
A. Fridman 
(1888-1925)
 

Základní relativistické principy
Klasický princip relativity
Mechanické děje dopadnou ve všech inerciálních soustavách stejně. Žádný z inerciálních systémů není nijak privilegován.
Speciální relativita
1. Mechanické i elektromagnetické děje dopadnou ve všech inerciálních systémech stejně. Žádný z inerciálních systémů není nijak privilegován.  
2. Rychlost světla je ve všech inerciálních souřadnicových soustavách stejná.
Obecná relativita
1. Všechny děje dopadnou v libovolném souřadnicovém systému stejně. Žádný systém není nijak privilegován.  
2. Gravitaci a setrvačné děje od sebe nelze odlišit. V urychlující se raketě dochází ke stejným dějům jako ve skutečném gravitačním poli. Naopak ve volně padajícím letadle pociťujeme stav beztíže a gravitační pole nevnímáme. Bohužel jen na chvíli. Vyjádřením tohoto faktu je tzv. princip ekvivalence.
Princip ekvivalence
Setrvačná a gravitační hmotnost jsou si navzájem úměrné, při vhodné volbě jednotek jsou si rovné. Princip ekvivalence vede k neodlišitelnosti setrvačných a gravitačních jevů a umožňuje popisovat gravitaci za pomocí křivého časoprostoru.
Silný princip ekvivalence
Energie odpovídající elektromagnetickému poli se také projevuje jako setrvačná hmotnost. I tato hmotnost má své gravitační účinky.
Velmi silný princip ekvivalence
Energie, která by odpovídala samotnému gravitačnímu poli má také projevy jako setrvačná a gravitační hmotnost.
Matematický popis OTR
1. Každé těleso zakřivuje svou přítomností prostor a čas kolem sebe. 
2. V tomto zakřiveném časoprostoru se tělesa pohybují po nejrovnějších možných drahách (geodetikách).
Tělesa tedy časoprostor sama vytvářejí, bez nich časoprostor neexistuje a nemá smysl.
 

Princip ekvivalence
Hmotnost lze určovat ze setrvačných účinků těles (schopnosti setrvávat v daném pohybovém stavu) nebo z gravitačních účinků (schopnosti všech těles se přitahovat). Z experimentů se ukazuje, že obě hmotnosti jsou si úměrné a při vhodné volbě jednotek rovné. V Newtonově gravitačním zákoně se potom setrvačná hmotnost pokrátí s gravitační hmotností tělesa (například pro volný pád md2y/dt2 = mg) a všechna tělesa se budou pohybovat po stejných trajektoriích. V malé volně gravitující kleci (padající výtah) se proto tělesa chovají jako ve stavu beztíže a naopak v urychlované kleci se tělesa chovají jako v tíhovém poli. V prostorově malé kleci v dosti krátkém časové okamžiku nerozlišíme gravitační a setrvačné efekty. Hledaný inerciální systém, ve kterém platí zákony speciální teorie relativity, je právě po krátkou dobu volně gravitující (padající) klec malých rozměrů. Jde o tzv. lokální inerciální systém (LIS). Nejlépe snad lze zavedení LIS pochopit v experimentu Harolda Waaga. Představme si tři propojené rovnoběžné desky s otvory na přímce. K první desce je připojeno zařízení vrhající kuličku, k poslední vak, který ji zachytí. Je­li zařízení v klidu vzhledem k povrchu Země (stojí na Zemi, visí na laně), kulička díky tíhovému poli neprojde až do vaku. Je to tím, že systém není inerciální a tělesa se nepohybují rovnoměrně přímočaře. Přestřihneme-li závěs a zařízení bude padat volným pádem, stává se lokálním inerciálním systémem (LIS), tělesa se pohybují po přímkách a kulička dopadne do záchytného vaku.
 
Experiment Harolda Waaga
Ověření principu ekvivalence:
1922:
L. Eötvös, E. Fekete, D. Pekár: Systém dvou těles na torzním vlákně z různých materiálů v poli Země. Přesnost 5×10–9.
1964:
R.H. Dicke, R. Krotkov, P.G. Roll: Au-Al v poli Země a Slunce. Přesnost 10–11
1971:
V.G .Braginski, V.I. Panov: Au-Pt v poli Země a Slunce. Přesnost 10–12
1994:
Y. Su: Be-Cu v poli Země a Slunce. Přesnost 2×10–12
1996:
J.O. Dickey: Země-Měsíc v poli Slunce. Přesnost 4×10–13
Přesností rozumíme relativní odchylku vzdálenosti dvou těles při volném pádu.
 

Stavba obecné relativity
OTRTělesa pohybující se pod vlivem gravitačních polí se díky ekvivalenci setrvačné a gravitační hmotnosti pohybují po stejných trajektoriích (pokud je jejich vlastní pole zanedbatelné). Například cihla a malá kulička padající ze stejné výšky dopadnou na zem za stejný čas. To přivedlo Alberta Einsteina k myšlence, že křivost trajektorií je vlastností samotného prostoru a času. Prostor a čas je zakřiven a tělesa se pohybují po rovných drahách v tomto křivém prostoru (lépe časoprostoru, časovou souřadnici nikdy ze svých úvah nemůžeme vynechat). Dva kameny na obrázku se podle newtonovské teorie potkají proto, že Slunce na ně působí gravitační silou, která zakřivuje jejich dráhu v prostoru. Podle obecné relativity se oba kameny pohybují po "přímkách", ale v křivém čase a prostoru. Zakřivení času a prostoru samozřejmě způsobuje Slunce.
Zakřivení třídimenzionálního prostoru si můžeme jen dosti těžko představit. Celkem bez problému si ale představíme zakřivenou dvojdimenzionální plochu (povrch jablka, míče, sedlo koně, reliéf krajiny). Nejkratší spojnicí dvou bodů na takto zakřivené ploše již není přímka. Je to křivka, kterou nazýváme geodetika. Jak si ale představit zakřivení v čase? Kupodivu je to velmi jednoduché. Zakřivení časové osy vlastně neznamená nic jiného než různý chod hodin v různých místech. Různě vysoko nad povrchem Země jdou hodiny různě. Na časovou osu nesmíme nikdy zapomínat. Ukažme si to na jednoduchém příkladě: Z nějakého místa na povrchu Země hodíme kámen a pod menším úhlem vystřelíme střelu tak, aby dopadly stejně daleko. Na první pohled se zdá, že něco je špatně. Prostor je zakřiven přítomností Země a tak by se kámen i střela měly pohybovat po stejných křivkách. Zapomněli jsme ale na časovou osu. Na obrázku vpravo je stejná situace zakreslena i s časem. Vidíme, že kámen i střela se pohybují různými místy časoprostoru. Jestliže na časové a prostorových osách zvolíme stejné jednotky (to lze zařídit například tak, že místo času budeme používat kombinaci ct), zjistíme, že obě trajektorie mají stejnou křivost.
 
kámen a střela
Základní myšlenky obecné teorie relativity tak lze shrnout do dvou tvrzení: 
 
  1. Každé těleso zakřivuje prostor a čas kolem sebe (prostor i čas!).
  2. Tělesa se pohybují po geodetikách (nejrovnějších možných drahách) v zakřiveném časoprostoru.
Matematické zpracování těchto postulátů může být i značně obtížné, využívá se poznatků z diferenciální geometrie a problémy gravitačního působení se převádějí na geometrické vlastnosti prostoru a času. Nicméně základní myšlenky OTR jsou jednoduché a přímočaré.
Jaký je vztah mezi obecnou a speciální relativitou? Obecná relativita platí v jakémkoli souřadnicovém systému, třeba zrychleném, rotujícím a podobně. Speciální relativita platí jen v inerciálních systémech. Ty, jak víme, existují jen lokálně. Lze je vybudovat jako klece malých rozměrů volně padající v prostoru po krátkou dobu. Chceme-li například sledovat pohyb světelného paprsku v blízkosti Slunce v rámci speciální relativity, musíme v každém místě, do kterého se paprsek dostanevybudovat LIS, v něm pohyb vyřešit (uvnitř LIS je to pohyb po přímce, ale celá klec padá volným pádem a pro vnějšího pozorovatele je proto trajektorie paprsku zakřivena). Přejdeme k dalšímu LIS, opět pohyb vyřešíme, atd. Výsledný pohyb bude integrací pohybů v jednotlivých LIS. Pomocí rovnic obecné relativity můžeme najít přímo řešení celého pohybu bez zavádění lokálně inerciálních systémů.
 
 

Zakřivení času
HodinyGravitační pole ovlivňuje chod hodin jakékoli konstrukce. Foton (jeho kmity mohou posloužit jako jednoduché hodiny) vystupující z gravitačního pole tělesa zmenšuje svou frekvenci, prodlužuje vlnovou délku a červená. Důvodem je zákon zachování energie, například v tíhovém poli
ω + mgh = const,    kde m = E/c2 = ω/c2 .
Červený posuv lze odvodit i z chování vystupujícího fotonu vzhledem k LIS. Vzhledem k vnějšímu pozorovateli LIS s fotonem v tíhovém či gravitačním poli padá a uplatní se Dopplerův jev. V obecném gravitačním poli s měnícím se potenciálem pro infinitezimální změnu frekvence platí:
dω/ω = –dΦ/c2;    Φ ≡ Wp/m.
Tato změna chodu hodin se podle principu ekvivalence uplatňuje i v přítomnosti setrvačných efektů (brždění, rozjíždění). Právě červený posuv je odpovědný za různé stáří bratrů ve známém paradoxu dvojčat. Ke změně chodu hodin dochází při urychlování rakety, v otočce a při přistání. Změna frekvence fotonu byla pozorována i při vstupu fotonu do gravitačního pole Země . V Poundově Rebkově experimentu byla pozorována změna frekvence fotonu při průletu starou vodárenskou věží o výšce pouhých 22,6 m. Různý chod hodin v různých výškách nad povrchem znamená, že rovnoběžník vytvořený ze dvou světočar fotonů a dvou časových intervalů není ve skutečnosti rovnoběžníkem, geometrie časoprostoru není eukleidovská:
 

Zakřivení prostoru
V zakřiveném prostoru (například na povrchu koule) již neplatí známé vztahy z Eukleidovské geometrie. Součet úhlů v trojúhelníku není 180°, obvod kružnice není 2πr, plocha koule není 4πr2, čtyři kolmé přímky nevytvoří obdélník, atd. Důsledkem zakřivení prostoru kolem našeho Slunce je například stáčení  perihélia Merkuru a odklon světelného paprsku hvězd od přímky. Kdybychom měřili poloměr Slunce ze skutečných radiálních měření, bude se nalezená hodnota lišit v důsledku zakřivení prostoru od hodnoty získané z měření plochy povrchu Slunce, r = (S/4π)1/2, o hodnotu
Δr = rg/6;     rg = 2Gm/c2,
tedy o šestinu Schwarzschildova poloměru. Pro naše Slunce jde o 0,5 km. Nejčastěji dnes měřeným projevem zakřivení prostoru jsou gravitační čočky, jejichž existenci předpověděl A. Einstein v roce 1936. Hmotný objekt ležící mezi zdrojem záření a pozorovatelem zakřivuje světelné paprsky podobně jako skleněná čočka v laboratoři.
Převzato z IAN
Klepnutím na tento symbol spustíte aplet, ve kterém si můžete vyzkoušet ohyb světelného paprsku v okolí hmotného tělesa. SW předpoklady: Netscape 4.5 a vyšší nebo Explorer 4.0 a vyšší. Autorem apletu je Ondřej Pšenčík.
 

Zakřivení časoprostoru - gravitační vlny
Nejjednodušším příkladem kombinovaného zakřivení časoprostoru, které je navíc periodické, je gravitační vlna. Objevuje se u těles s nenulovým kvadrupólovým momentem a metriku časoprostoru lze rozložit na dvě části:
gμν = ημν + hμν,
kde veličina ημν je obyčejná Minkowského metrika speciální relativity a  hμν je malá odchylka od této metriky, která splňuje vlnovou rovnici
(Δ – 1/c2 ∂2/∂t2hμν = 0.
Gravitační vlny mají dva mody skloněné o 45°. Tato odlišnost od elektromagnetických vln (také dva mody, ale odkloněné o 90°) souvisí se spinem pole (fotony mají s = 1, gravitonys = 2). Existenci gravitačních vln předpověděl Albert Einstein již v roce 1916. Známé jsou neúspěšné Weberovy pokusy o hledání gravitačních vln. V současnosti probíhá velmi ambiciózní projekt LIGO na detekci gravitačních vln. Detaily o hledání gravitačních vln naleznete na stránce Testy obecné relativity.
 
 

Některé vztahy z OTR
Δω/ω0 = –Δλ0 = ΔΦ/c2
Změna frekvence fotonu způsobená změnou gravitačního potenciálu Φ. V tíhovém poli je ΔΦ = gΔl.
ds2 =  –c2(1 – rg/rdt+ (1 – rg/r)-1dr2  + r2 dω2
Schwarzschildova metrika. Tvar intervalu ve sférických souřadnicích v okolí černé díry.
rg = 2GM/c2
Schwarzschildův poloměr. Poloměr, pod ze kterého se od hmotného tělesa nemůže vzdálit ani světlo.
MLQ = const
No hair“ teorém. Černá díra si ponechává jen informaci o hmotnosti, momentu hybnosti a náboji.
ΣSk(t) ≤ ΣSk(t+Δt)
Termodynamika černých děr. Ať probíhají jakékoli procesy včetně spojování černých děr, celkový povrch se nezmenší. Povrch černé díry v jistém smyslu představuje pojem entropie klasického souboru částic
ds2 =  –c2 dt2 + a2(t)[dr2/(1–kr2)  + r2 dω2]
Fridmanova-Lemaitre-Robertsonova-Walkerova metrika rozpínajícího se Vesmíru. 
H2 – 8/3 πGρ = –c2k/a2
Einsteinova-Fridmanova rovnice. Diferenciální rovnice pro expanzní funkcia(t). Veličina k je křivost Vesmíru.
H ≡ (da/dt)/a
Hubbleova konstanta. Udává koeficient úměrnosti mezi rychlostí rozpínání Vesmíru a vzdáleností objektu. H ~ 71 km s–1Mpc–1.
ρC = 3H2/(8πG)
Kritická hustota. Pro hustotu vyšší než je kritická se Vesmír bude v budoucnu smršťovat, jeho křivost je kladná a objem konečný. Pro hustotu nižší než kritická je křivost záporná, objem nekonečný a Vesmír se bude neustále rozpínat.
z = Δλ0 = [a(t) – a(t0)]/a(t0)
Kosmologický posuv. Změna frekvence vyzařovaného světla způsobená změnou geometrie prostředí, kterým se světlo šíří, tedy rozpínáním Vesmíru.

 

RŮZNÉ METRIKY

 
Na této stránce naleznete:
 
Kartézské souřadnice
 
Polární souřadnice
 
Sférické souřadnice
 
Souřadnice na povrchu koule
 
Minkowského metrika
 
Schwarzschildova metrika
 
FLRW metrika
 

Kartézské souřadnice
Metrika vlastně popisuje vzdálenost dvou bodů v prostoru nebo v časoprostoru. Nahrazuje nám tak Pythagorovu větu pro infinitezimálně malý úsek vzdáleností a umožňuje vypočítat mnohé vlastnosti prostoru či časoprostoru. Zde jen uvedeme nejčastěji používané metriky a v připravovaných Seminářích k astrofyzice si procvičíte na metriky řadu příkladů. Používáme-li k popisu známého prostoru jen nový typ ortogonálních souřadnic (souřadnicové plochy jsou navzájem kolmé), stačí se infinitezimálně z daného bodu posunout ve směru jednotlivých souřadnicových os a sečíst kvadráty těchto posunutí. Jde vlastně o aplikaci Pythagorovy věty. V obecně zakřiveném časoprostoru je třeba metriku vypočítat z Einsteinových rovnic OTR. Často jsou k dispozici nekorektní a nepřesné postupy, které však mohou jednoduchým způsobem ukázat alespoň tvar metriky v dané situaci.
V kartézských souřadnicích (xyz) jsou infinitezimální posuny ve směru jednotlivých os, interval a metrické koeficienty 
 
dlx = dx,
dly = dy,
dlz = dz,
dl2 = dx2 + dy2 + dz2,
gij = diag {1,1,1} .
 

Polární souřadnice
V polárních souřadnicích (r,φ) je situace obdobná. Jen je třeba si uvědomit, že posuneme-li se v úhlu φ, pohybujeme se po infinitezimálním oblouku, který je dán jako součin poloměru a úhlu: 
 
dlr = dr,
dlφ = r dφ,
 
dl2 = drr2dφ2 ,
gij = diag {1, r2} .
Metrické koeficienty již nejsou rovny jedné. Tentokrát je prostor stále rovný, křivočaré jsou jen použité souřadnice.
 

Sférické souřadnice
Ve sférických souřadnicích (rθφ) je posun v radiální ose evidentně dr. Posouváme-li se v ose θ (rozevíráme kuželovou plochu), je posun roven oblouku rdθ. Posun v ose φ, znamená pootočení plochy konstantního φ. Bod se posune o rdφ = r sin θ dφ. Proto máme:
dlr = dr,
dlθ = rdθ,
dlφ = r sin θ dφ,
dl2 = dr2 + r2dθ2 + r2 sin2θ dφ2 ≡  dr2  + r2 dω2,
gij = diag {1, r2rsin2θ} .
Nezajímají-li nás podrobnosti o úhlových částech metriky, zkracujeme je symbolem dω2.
 

Souřadnice na povrchu koule
Představme si, že chceme vybudovat souřadnicový systém na povrchu kulové plochy o poloměru R. Použijeme nejprve standardní 3D kartézské souřadnice vycházející ze středu koule. Předpokládejme, že osa z protíná povrch koule v místě pozorovatele a vytváří tak na povrchu koule přirozený pól. Souřadnice x a y lze v těsné blízkosti pólu (pozorovatele) považovat za lokální kartézský systém na povrchu koule. Dále od pólu je ale zjevné, že průsečíky souřadnicových rovin s povrchem koule nejsou přímky.
Pozorovatel na pólu
Integrální a diferenciální vztah pro povrch koule dává:
x2 + y2 + z2 = R2;       xdx + ydy + zdz = 0.
V elementu vzdálenosti pomocí uvedených vztahů postupně eliminujeme proměnnou z:
dl2 = dx2 + dy2 + dz2 = dx2 + dy2 + (xdx + ydy)2/(R2 − x2 − y2).
Zavedeme-li běžným způsobem polární souřadnice (v těsné blízkosti pólu se budou pozorovateli zdát jako lokální polární souřadnice na povrchu koule, souřadnice r má význam vzdálenosti od osy z)
x = r cos φ;     y = r sin φ,
dostaneme po dosazení a úpravách metriku
dl2 = dr2/(1 – r2/R2) + r2dφ2.
Často se zavádí takzvaná skalární (Gaussova) křivost k ≡ 1/R2. S tímto označením získá metrika finální tvar
dlr = dr/(1 − k r2)1/2,
dlφ = r dφ,
dl2 = dr2/(1 − k r2) + r2dφ2,
gij = diag {1/(1 − k r2), r2} .
Poprvé v tomto příkladu znamenají nejednotkové koeficienty u metriky skutečně zakřivený „svět“. Budeme-li na povrchu koule konstruovat kružnice, nebude jejich obvod roven 2πa, kde a je vzdálenost měřená po povrchu koule. Stejný příklad řešený pro 3D „povrch“ na 4D kouli naleznete ve skriptu Astrofyzika v příkladech.
 

Minkowského metrika v STR
Jedním ze základních postulátů speciální teorie relativity je experimentálně mnohokrát ověření tvrzení, že světlo se ve všech soustavách šíří se stejnou rychlostí. Míjejí-li se dvě souřadnicové soustavy a bliknu-li baterkou v počátku soustav právě když jsou počátky na stejném místě, bude se světlo v obou soustavách šířit v kulových vlnoplochách z počátku:
dl2 = c2dt2 ,   dl' 2 = c2dt' 2 .
V obou soustavách tedy platí dx2 + dy2 + dz2 = c2dt2 , neboli −c2 dt2+ dx2 + dy2 + dz2 = 0. Právě kombinace na levé straně je vždy ve všech souřadnicových soustavách stejná a nazývá se interval. Přejímá význam vzdálenosti, resp. kvadrátu velikosti vektoru ve čtyřrozměrném časoprostoru. Čas budeme klást na nulté místo v pořadí souřadnic (časoprostor). Bylo by možné ho také klást na čtvrté pořadí (prostoročas). Minkowského metrika v kartézských souřadnicích je: 
 
ds2 = −c2 dt2+ dx2 + dy2 + dz2,
gij = diag {−c2 , 1, 1, 1} .
Minkowského metriku můžeme také zapsat ve sférických souřadnicích:
ds2 = −c2 dt2 + dr2 + r2dθ2 + r2 sin2θ dφ2,
gij = diag {−c2, 1, r2r2 sin2θ} .
Minkowského metrika je metrikou plochého časoprostoru speciální relativity, i když je zapsána v křivočarých souřadnicích.
 

Schwarzschildova metrika
Schwarzschildovo řešení je řešení Einsteinových rovnic v okolí sféricky symetrického hmotného objektu. Souřadnicový systém S zvolíme nepohyblivý vzhledem k objektu, systém je zjevně neinerciální. Představme si další systém LIS, tentokrát inerciální, který padá z nekonečna k uvažovanému objektu. Jeho okamžitá rychlost je ve vzdálenosti r od objektu rovnav = (2Gm/r)1/2. Rychlost měříme vzhledem k objektu. V padajícím LIS zjistíme kontrakci délek a dilataci času událostí v S:
dr = drLIS/γ;     dt = γdtLIS   ,
koeficient γ je dán rychlostí pohybu
γ = (1 − v2/c2)−1/2 = (1 − 2GM/rc2)−1/2 = (1 − rg/r)−1/2,
kde jsme označili tzv. Schwarzschildův poloměr
rg ≡ 2GM/c2.
V LIS platí speciální relativita a lze použít Minkowského metriku
ds2 = − c2 dt2LIS + dr2LIS.
Úhlové rozměry jsou v obou soustavách nedotčeny. Metrika v pevném souřadnicovém systému by měla proto být
ds2 = − c2 dt2/γ2 + γdr2 +  r2dω2, tj.
ds2 = − c2(1 − rg/r) dt2 + dr2/(1 − rg/r) + r2dω2.
Tento vztah skutečně rigorózně odvodil K. Schwarzschild z rovnic OTR. Naše „odvození“ je jen jakýmsi náznakem. Použili jsme nerelativistický vztah pro energii a systém, který je inerciální jen lokálně. 
 
ds2 = − c2(1 − rg/r) dt2 + dr2/(1 − rg/r) +  r2dω2,
gij = diag {−c2(1 − rg/r), 1/(1 − rg/r), r2r2 sin2θ} .
Úhlová část metriky je nedotčena (je to zjevné z „odvození“ pomocí padajícího systému – v úhlových směrech ke kontrakci nedochází). Časová část je ale nyní ovlivněna (v různých vzdálenostech od objektu jde čas různě) a radiální část metriky také. Ve velkých vzdálenostech od centrálního tělesa (rg>>r) přechází Schwarzschildova metrika v Minkowského metriku, časoprostor není zakřiven. Na Schwarzschildově poloměru se čas zastaví a radiální část metriky diverguje. Je to vlastnost zvoleného souřadnicového systému, který je pevný v prostoru. Padající pozorovatel by při průchodu Schwarzschildovým poloměrem nepozoroval nic zvláštního.

Fridmanova-Lemaitrova-Robertsonova-Walkerova metrika (FLRW)
Fridmanovo řešení je řešení Einsteinových rovnic v homogenním isotropním Vesmíru. Souřadnicový systém je součástí Vesmíru a spolu sním se pohybuje (comoving coordinates).
ds2 = −c2dt2a2(t) [ dr2/(1 − kr2) +  r2dω] .
Řešení má některé „odchylky“ od Minkowského metriky plochého časoprostoru speciální relativity. Časová část je zcela nedotčena. Celá prostorová část je násobena bezrozměrným koeficientem a2(t). Jde o tzv. expanzní funkci, která vyjadřuje, jak se rozpíná prostorová část metriky. Více se o ní dozvíte na stránce věnované Standardnímu modelu. V rámci prostorové části je úhlová část nedotčena a radiální část je deformována stejně jako metrika na povrchu koule. Jen skalární Gaussova křivost k může být kladná, záporná i nulová. Pro k = 0 a a = 1 přechází FLRW metrika v Minkowského metriku.
ds2 = − c2dt2a2(t) [ dr2/(1 − kr2) +  r2dω],
gij = diag {−c2a2(t)/(1 − kr2), a2(tr2a2(tr2 sin2θ} .
 

 

EXPERIMENTÁLNÍ TESTY OTR

 
Na této stránce naleznete:
    
Historické experimenty
 
Gravitační čočky
 
Pulsar PSR 1913+16
 
Gravitační vlny - projekt Ligo a další
 
Lense-Thirringův jev
 
 

Historické experimenty
Stáčení perihelia Merkura:. Dráha Merkura není přesná elipsa. Perihelium elipsy se postupně stáčí. Většina tohoto pohybu byla vysvětlena působením poruch od ostatních planet. Menší část stáčení (43" za století) objasnila až obecná relativita. Právě u Merkuru je vliv OTR největší, protože jde o planetu pohybující se nejblíže ke Slunci, kde je časoprostor nejvíce zakřiven a navíc efekt zesiluje značná výstřednost trajektorie Merkuru.
Odklon světelných paprsků v blízkosti Slunce: Již v rove 1911 předpověděl Albert Einstein (1879-1955), že světelný paprsek  vzdálených hvězd se v blízkosti Slunce zakřivuje. Při zatmění Slunce, kdy sluneční svit neruší pozorování, jsou polohy hvězd úhlově blízkých k povrchu Slunce vychýleny z normální polohy vzhledem k úhlově vzdálenějším hvězdám. U Slunce činí odchylka u povrchu 1,745" a byla poprvé pozorována sirem Arturem Stanleyem Eddingtonem (1882-1944) při expedici za zatměním Slunce na Princův ostrov v západní Africe v roce 1919. Souběžně byla organizována expedice do Sobralu v Brazílii. 
Hubbleův červený posuv galaxií: První přímý experimentální důkaz rozpínání Vesmíru podal Edwin Hubble (1889-1953) v roce 1929. Při přehlídce asi 35 galaxií Hubble zjistil, že vzdálené galaxie se od nás bez výjimky vzdalují a to tím rychleji, čím jsou dále (to přesně odpovídá kosmologickému principu). Dnes bývá často zpochybňováno proložení původních měření lineární závislostí. Šlo spíše o intuici než o solidní úvahu. Edwin Hubble byl také první, kdo rozpoznal, že v galaxiích jsou proměnné hvězdy - cefeidy.
Poundův-Rebkův experiment: V gravitačním poli jdou hodiny umístěné v různé vzdálenosti od centrálního tělesa různě. Fotony vzdalující se od těles červenají a přibližující se k tělesům modrají (mění se jejich frekvence). Tento jev nazývámegravitační červený posuv a byl poprvé na Zemi měřen ve staré vodárenské věži na Harvardské universitě. Výška věže byla22,6 m, tomu odpovídá relativní změna frekvence 2,5×10-15. Experiment provedl Robert V. Pound a Glen A. Rebka v roce 1960. Jako zdroj záření použili radioaktivní izotop Fe 57 s vyletujícími fotony o energii 14,4 keV. Ke sledování změny frekvence využili Mösbauerův jev.
Weberovo hledání gravitačních vln: Existenci gravitačních vln předpověděl Albert Einstein v roce 1916. Známé jsou neúspěšné pokusy Josepha Webera o detekci gravitačních vln pomocí dvou obřích hliníkových válců vzdálených 1000 km (Maryland, Aragon). Válce se chovaly jako přirozené oscilátory naladěné na frekvenci 1660 Hz. Parametry: materiál Al, hmotnost 1,4 tuny, poloměr 66 cm, délka 153 cm. Válce byly zprovozněny v roce 1966 a v roce 1969 byla naměřena jediná koincidence, která se již nikdy nezopakovala. Dnes se soudí, že citlivost h ≡ ΔL/L ~ 10-15 tohoto zařízení nebyla dostatečná.
 
Slavné experimenty
A.S. Eddington 
(1882-1944)
E. Hubble 
(1889-1953)
J. Weber  
(i s válcem)
 

Gravitační čočky
1979:
QSO 0957+561 - první objevená gravitační čočka (Walsh, Carswell, Weynmann). Dvojitý obraz kvasaru se = 1,405,= 17m.
1987:
Obří oblouky (Lynds, Petrosian, Soucailová). Asi dvacet oblouků - zčočkované světlo galaxií za bohatou kupou galaxií.
1988:
MG 1131+0456 - první Einsteinův prstenec v radiovém oboru (Hewitt). Kosmologický posuv = 1,13, Ø = 1,75".
90. léta:
Mikročočky: Zesílení obrazu při přechodu za hmotným objektem v Galaxii. Využívá se při detekci planet. Planeta v podvojné mikročočce způsobí "zoubek" na zesílení intenzity světla vzdálené hvězdy, který trvá řádově hodiny a představuje další zvýšení intenzity až o 10 %. Dnes (1999) bylo detekováno přes 200 mikročoček.
Efekt gravitační čočky předpověděl A. Einstein v roce 1936. Hmotný objekt (zpravidla velká galaxie) ležící mezi zdrojem záření a pozorovatelem zakřivuje světelné paprsky podobně jako skleněná čočka v laboratoři. Jsou-li objekty dokonale na přímce vznikne jako obraz vzdálené galaxie tzv. Einsteinův prstenec. Jsou-li objekty mírně vyosené, vznikne několikanásobný obraz vzdálené galaxie či kvasaru.
Schema gravitační čočky, převzato z IAN
Abell 2218 
Kupa galaxií z HST (1995). Jejich světlo se na cestu vydalo v době, kdy byl věk Vesmíru asi čtvrtinový v porovnání s dnešním. Hmotné členy kupy fungují jako gravitační čočky - vzdálené objekty zobrazují jako krátké oblouky, které najdete po celém snímku. Jejich celkový počet je asi sto padesát.
Oblouky v Abellově kupě
1938+666 (Býčí oko)
Galaxie zobrazená efektem gravitační čočky jako Einsteinův prstenec. Úhlový průměr 1". 
Vlevo: IR obraz z HST (1,6×10-6 m, kamera NICMOS, 1998). Světlá skvrna uprostřed prstenu je mezilehlá hmotná galaxie. 
Uprostřed: Radiový obraz galaxie 1938+666 ze sítě šesti radioteleskopů MERLIN ve Velké Británii. Neúplný obraz svědčí o tom, že mezilehlá galaxie není přesně na spojnici pozorovatel - objekt. V radiovém oboru mezilehlá galaxie nezáří. 
Vpravo: Superpozice obou obrazů.
Býčí oko - Einsteinův prstenec
 

Podvojný pulsar 1913+16
Nejdokonalejší objevenou relativistickou laboratoří, na které lze ověřovat efekty obecné relativity je podvojný pulsar 1913+16. Jde o dvě neutronové hvězdy v těsné blízkosti, takže zakřivení prostoru a času, na které složky reagují, je značné. Navíc v prostoru mezi složkami není žádný rozházený mateiál, který by komplikoval interpretaci měřených veličin. Podvojný pulsar byl objeven v roce 1974 v Arecibu. Russel A. Hulse a Joseph H. Taylor obdrželi Nobelovu cenu za fyziku v roce 1993 za výzkum tohoto unikátního systému, především za objev zkracování periody odpovídající vyzařování gravitačních vln. Rozměry obou složek i celého systému jsou tak malé, že systém je téměř ideální relativistickou laboratoří. Dnes je známo přes 1000 pulsarů, z toho více jak 40 podvojných. Pulsar PSR 1534+12, objevený v roce 1991, má ještě lepší parametry pro testování OTR. Základní parametry podvojného pulsaru 1913+16 jsou: perioda 0,059 s, orbitální perioda 7 h 45 min, hmotnost první složky 1,44 MS, hmotnost druhé složky 1,39 MS, vzdálenost složek 700 000 km. Pro srovnání: poloměr Slunce je cca 700 000 km, do tohoto prostoru se obě dvě hvězdy vejdou a jejich hmotnosti jsou srovnatelné s hmotností Slunce. 
 
PSR 1913+16

 
Pulsar PSR 1913+16
M1 = 1,44 MS 
M2 = 1,39 MS 
= 700 000 km 
Trot = 0,059 s 
Torb = 7h 45 min
Parametry 
pulsaru
R.A. Hulse  
(1950)
J.H. Taylor 
(1941)

 
Efekty naměřené u PSR 1913+16
  • stáčení periastra 4° za rok !!!
  • relativistický Dopplerův jev
  • červený gravitační posuv
  • dilatace času způsobená oběhem
  • stáčení světelných paprsků
  • zkracování periody o 76×10-6 s/rok díky vyzařování gravitačních vln
 
 

Gravitační vlny - projekt LIGO a další
LIGO (Laser Interferometry Gravitational-Wave Observatory). Ambiciózní projekt na hledání gravitačních vln. Vznikl ve spolupráci Caltech (California Institute of Technology) aMIT (Massachusetts University of Technology). Jde vlastně o dva obří interferometry. Každý z nich má dvě kolmá ramena (podobně jako měl Michelsonův interferometr). Parametry jsou však úctyhodné: 
 
LIGO
Délka ramene: 4 km 
Průměr ramene: 60 cm 
Přesnost (h): 10-21 
Laser: Nd:Yag, 10 W 
Frekvence: 10 Hz - 10 kHz 
Pracovní tlak: 10-9 Torr
Parametry LIGO
Hanford (Caltech, Washington)
Livingston (MIT, Lousiana)
Jde o první zařízení, které dosáhne relativní přesnosti 10-21 při měření délky ramen (h = ΔL- ΔL2)/L. Tato citlivost by měla být dostatečná na zjištění gravitačních vln od standardních zdrojů (rotující neutronové hvězdy, supernovy, binární systémy). Očekávaná frekvence vln je menší jak 10 kHz. V současné době (červen 1999) se zařízení vakuuje, na začátku roku 2000 budou provedeny první testy. Úplný provoz začne v roce 2002. Po následné přestavbě a výměně laseru by mělo zařízení dosáhnout do deseti let citlivosti 10-22 a pokusit se hledat gravitační vlny z období oddělení gravitační interakce v čase 10-43 s po Velkém třesku. V zařízení je částečně odstíněn tepelný šum a seismický hluk. Zařízení bude schopné detekovat tyto signály: 
 
  • rotující binární systémy (narůstaní frekvence a amplitudy vln v důsledku jejich vyzařování),
  • záblesky (supernovy, kolaps na černou díru),
  • periodické signály (rotace neosově symetrických neutronových hvězd f = 2×frot),
  • stochastické signály (gravitační vlny emitované v Planckově čase, v inflační fázi a při vzniku topologických defektů při narušení symetrií).
Na světě existují a staví se i další interferometrické detektory s nižší citlivostí (MARK, TAMA, GEO, VIRGO) a připravuje se ambiciózní projekt LISA umístěný ve Vesmíru. Půjde o tři sondy tvořící interferometrický systém se vzdáleností ramen 5 000 000 km a citlivostí h až 10-24, který bude pracovat s frekvencemi od 10-4 Hz do 1 Hz a umožní tak i sledování supermasivních černých děr s pomalými frekvencemi gravitačních vln. Soustava těchto tří sond bude obíhat kolem Slunce ve vzdálenosti 1 AU
 
Detektor
Umístění
Velikost
Provoz
MARK 2
USA (Pasadena)
40 m
1991
TAMA 300
Japonsko (Tokyo)
300 m
1999
GEO 600
Německo (Hannover)
600 m
2000
LIGO
USA (Hanford, Livingstone)
4 km
2002
VIRGO
Itálie (Pisa)
3 km
2002
LISA
oběžná dráha kolem Slunce
5×106 km
2010
 

Lense-Thirringův jev
Strhávání souřadnic kolem rotujícího objektu, projevuje se precesním pohybem okolní látky a někdy i celého akrečního disku. Jev předpověděli J. Lense a H. Thiring již v roce 1918. Úspěšné pokusy o naměření jevu byly provedeny v akrečních discích černých děr v roce 1998. V roce 1999 byly oznámeny výsledky pokusů o naměření jevu u družic LAGEOS, jejichž dráha kolem Země je strhávána o cca (2 ± 0,2) m/rok. V letech 2004 až 2005 se jev pokusila změřit specializovaná  družice Gravity Probe B. Bohužel se ukázalo, že její citlivost nebyla dostatečná a měření byla znehodnocena magnetickým polem slunečního plazmatu.